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入江塾算数 過去問
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立命館守山中学校 2017年 算数(前期)

立命館守山中学校 2017年(前期) 大問5

【問題】

全校生徒1000人の中から役員3人を選ぶ選挙を行うことにしたところ,りつこさん,めいさん,かんた君,まもる君,

やまと君,ちゅうたろう君の6人が立候補しました。
選挙は,立候補者も含めて1人1票必ず投票することとし,投票数の多い3名を役員とすることにします。

このとき,次の問いに答えなさい。

 

問1 役員に確実に選ばれるには,最低何票必要か求めなさい。

 

問2 850票を開票したところ,下の表のようになった。このとき次の問いに答えなさい。

 

 

 

【解説】

問1

  最も僅差で勝つ場合を考えます。

 まず、1000票を当選する3人と、落選する1人とで平等に分けます。

 残り2人の落選候補者には票がいかない(落選する一人が最も善戦する)ようにすることがポイントです。

 

  1000÷(3+1)=250票あまり0

 250票では当選確実ではないので250+1=251票が最低必要な票数となります。

 

 このことより、当選確実である票数xは以下のように表されます。

 

 

  開票している途中の当選確実である票数は、開票前と異なります。

 この時点での残り票数は、1000-850=150票

 現在3位以上の人はここから、自分に近い候補者から追い抜かれて4位にならないことが重要です。

  

  りつこさんは、残り150票を自分と、2位のちゅうたろう君、3位のめいさん、4位のまもる君の4人で分ける

 ことを考えます。

 ここまでの得票数と、残りの150票を合わせると、

  230+175+150+120+150=825票

  825÷(3+1)=206票あまり1

 当選確実である票数は206+1=207票なので、りつこさんは当選が確定しています。

 

  次に、既に当選が確定したりつこさんを除いて、2位のちゅうたろう君、3位のめいさん、4位のまもる君の

 3人だけで考えます。りつこさんも入れて計算すると、必要な票数が引き上げられてしまうからです。

 この場合、当選者が2人と落選者が1人になります。

 3人の得票数と残りの150票を合わせると、

  175+150+120+150=595票

  595÷(2+1)=198票あまり1

 当選確実である票数は198+1=199票なので、他に当選確実な人はいません。 

 

 答:りつこさん

 

 

  ちゅうたろう君、めいさん、まもる君の3人は199票必要だとわかっているので、

  199-120=79より、あと79票必要です。

 

 

 【別解】

  以上のように考えてもよいですが、問2は図で考えるとわかりやすくなります。

 

  上図のように得票数順に棒グラフをかき、上位4人を選出し、仕切りをします。

 そして残りの150票を水だと考えて、低いところから入れていきます。

 全て入れ終わったときの水面に当たる部分が当選確実ラインで、ここを上回れば当選が確定します。

 りつこさんは既に当選確実で、2位~4位の3人は199票以上得た時点で当選が確定します。