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入江塾算数 過去問
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洛星中学校 2017年 前期

洛星中学校 2017年 前期算数 大問6

【問題】

 次の問いに答えなさい。

 

(1) 正三角形の板をすきまなく並べて平行四辺形をつくり、2本の対角線のうち長い方の線で切断します。

  図1は、5列3段に並べたときで、切断された正三角形の板の枚数は14枚です。

 

 

(ア) 9列4段に並べたとき、切断された正三角形の板の枚数は何枚ですか。

 

(イ) 41列17段に並べたとき、切断された正三角形の板の枚数は何枚ですか。

 

(ウ) 189列84段に並べたとき、切断された正三角形の板の枚数は何枚ですか。

 

(2) 正三角形の板をすきまなく並べて平行四辺形をつくり、2本の対角線のうち短い方の線で切断します。

  図2は、5列3段に並べたときです。

 

 

  

833列476段に並べたとき、切断された正三角形の板の枚数は何枚ですか。

 

 

【解説】

 図1を、正三角形2枚からなるひし形を正方形になるように、以下のように変形させてみます。

 

このようにしても切断される枚数には影響しません。

 

 

正方形が1枚切断されるごとに三角形は2枚切断されますので、

正方形が何枚切断されたかを求め、その数を2倍するとよいことになります。

 

ここで、正方形をx列y段の長方形になるよう並べたとき、対角線で切断される正方形の枚数は

「x+y-(xとyの最大公約数) 」

で求められます。

 【理由】

点Aから対角線を引くとき、タテ・ヨコの線に到着する度に正方形が切断されます。

よってタテ・ヨコの線の本数の合計=x+yが関係しているのですが、もう一つ重要なことがあります。

それは、正方形の頂点を通る場合はタテとヨコの線を同時に横切るが、

切断される正方形は一枚だということです。

このため、出発点を除く正方形の頂点に到着する回数(xとyの最大公約数)ぶんを引く必要があり、

先述の式になります。

 

(1) 

(ア) 9+4-G(9,4)=9+4-1=12 

    12×2=24枚

 

(イ) 41+17-G(41,17)=41+17-1=57

   57×2=114枚

 

(ウ) 189+84-G(189,84)=189+84-21=252

   252×2=504枚

   

   もしくは189列84段は(ア)の9列4段の21倍であることを利用して、24×21でも求められます。

 

(2) 図2を例にし、下図の太線部分について考えます。

 

 

太線部分は、「正方形を2列3段の長方形になるよう並べた形」に変形させることができます。

これで(1)と同じ解き方ができます。

2列というのは、上図のように3段に並べた場合は3列減ることから、5-3=2、で求めることができます。

 

833列476段の場合、

833-476=357列、より357列476段の長方形に置き換えられます。

357+476-G(357,476)=357+476-119=714

714×2=1428枚、となります。