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入江塾算数 過去問
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東山中学校 2018年前期B

東山中学校 2018年前期B 大問7

【問題】

1から順に整数が書かれているカードがあります。図1のように、これらのカードが1から順にある整数まで時計回りで

円形に並んでいるものを考えます。ここから、1のカードを最初に取り除き、時計回りで1つおきにカードを取り除いて

いき、最後に残るカードについて考えます。例えば、図2のように8のカードまで並んでいるとき、1、3、5、7、2、6、4

の順でカードを取り除き、最後に残るのは8のカードになります。

 

 

このとき、次の問いに答えなさい。

 

 (1)16のカードまで並んでいるとき、最後に残るカードに書かれている整数を求めなさい。

 

 (2)2018のカードまで並んでいるとき、最後に残るカードに書かれている整数を求めなさい。

 

【解説】

 (1)周ごとに残っているカードを書き出すと次のようになります。

  よって、16が最後に残ります。

 

 (2)(1)のときのようにカードの残り枚数が2枚、4枚(2×2枚)、8枚(2×2×2枚)、16枚(2×2×2×2枚)のように

   2だけを何個かかけた数のときは、一番後ろに置かれているカードが最後まで残ることがわかります。

   2018のカードまで並んでいる場合、2だけを何個かかけていった数を考えると2018までの中で一番近いものは

   2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024です。

   よって、1024枚のカードが残るときを考えます。

   ここまでに2018-1024=994枚取り除き、最後に取り除いたカードは、

   1+2×(994-1)=1987

   ですのでこの次に取り除くカードは1989です。

   1989を先頭に考えると1988が一番後ろに置かれていることになりますので、1988が最後に残ります。

 

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